La topología es una rama joven de las matemáticas que, principalmente se ocupa del estudio de las propiedades de los cuerpos geométricos que permanecen inalteradas por transformaciones continuas. Se trata de una disciplina compleja que no pretendemos abarcar de momento (interesante será ver más adelante el concepto de topología informática).
Nosotros nos vamos a quedar con la parte más sencilla, pero más entretenida de la topología. Son unos sencillos juegos matemáticos.
EJERCICIO Nº1.
Trata de formar la siguiente figura sin levantar en ningún momento el lápiz del papel ni pasar dos veces por la misma línea. Es difícil que salga al primer intento así que paciencia…
Ver video youtube con soluciones al ejercicio 1.
EJERCICIO Nº2.
El ejercicio de los 9 puntos. El juego consiste en pasar por los 9 puntos sin levantar el lápiz ni repetir línea. (Recuerda que en ocasiones nos autoimponemos normas que el problema no define). No es fácil aunque hay más de una solución. Si no te sale prueba a cambiar de estrategia hasta que lo consigas.
Ver video youtube con solución al ejercicio 2.
EJERCICIO Nº3. Los puentes de Königsberg. (dificultad muy alta)
Conocido también como el problema de los siete puentes de Königsberg. Se trata del problema que da origen a la topología. Su nombre procede de la antigua ciudad de Königsberg (actual Kaliningrado) en la Prusia del siglo XVIII. La ciudad estaba surcada por el río Pregolya, que, en el centro de la ciudad, se bifurcaba en dos brazos que rápidamente volvían a unirse formando en el interior una pequeña isla, llamada Kneiphof. El mapa de la ciudad quedaba de la siguiente manera:
El problema que se presentó era ¿es posible cruzar toda la ciudad a pie, pasando sólo una vez por cada uno de los puentes y regresando, finalmente, al punto de inicio? Puedes comenzar desde cualquiera de la regiones.
El enigma fue resuelto por Leonhard Euler (1736) que elaboró una teoría aplicable a casos similares.
Existe una simplificación que te puede ayudar a resolver el enigma. El mapa de la ciudad se puede reducir a una figura cómo ésta:
En la figura los puentes se representan con lineas y las zonas son los puntos de color azul. Así podríamos plantear el problema cómo ¿es posible dibujar dicho esquema sin levantar el lápiz ni pasar dos veces por una misma linea?
Solución en wikipedia.
Ver video con solución en youtube de los puentes de Königsberg (en inglés).
EJERCICIO Nº4. El caballo de ajedrez (dificultad media)
Se trata de un viejo problema que consiste en colocar el caballo de ajedrez en la posición de quieras del tablero (vale cualquier cuadrícula de 8×8) y, mediante el movimiento característico de dicha pieza (recorrer trayectorias en forma de L, es decir, se desplaza dos casillas en dirección horizontal o vertical y una casilla en la dirección perpendicular a la anterior) recorrer todas y cada una de las casillas de la cuadrícula sin repetir ninguna de ellas.
Existen múltiples soluciones, todas válidas, y muchos científicos (entre ellos el propio Euler) han buscado el algoritmo que resuelve el problema sin hallarlo. Existen diferentes técnicas que recomiendan seguir una trayectoria cíclica, recorrer continuamente el perímetro para luego abarcar el centro… inténtalo como tú quieras y se paciente al resolverlo.
Mi consejo para realizarlo es: coge un trozo de papel. Haz una cuadrícula de 8 filas por 8 columanas (cómo el tablero de ajedrez) y vete probando fórmulas.
En la posición en que colocas el caballo pones un «1», lo desplazas a la siguiente casilla y pones un «2» y así sucesivamente porque, recuerda que no puedes repetir casilla, por tanto, debes acordarte de por dónde pasaste. ¡Suerte!
Solución animada (una de las tantas válidas).
Solución fija (otra variante).
EJERCICIO Nº5. CRUCES (dificultad baja)
Se trata de, mediante una línea continua (no puedes levantar el lápiz), cruzar cada uno de los 16 segmentos que componen la figura sin pasar dos veces por ninguno de ellos. La figura es la siguiente:
Solución fija (video de youtube en inglés)
Debes darte cuenta de que la gravedad va a hacer estragos en tu estructura en cuanto pulses «start» así que se previsor, compensa los pesos, busca bloqueos o haz palancas, cualquier cosa vale para conseguir el objetivo. Puedes agrandar las piezas pulsando sobre ellas, o girarlas de la manera que más te convenga. Cuando la posición «engrane» bien, es decir, sea válida se pondrá la pieza en verde, si algo no funciona, o no hay espacio se pondrá en rojo.
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